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内容简介
《基础代数（第二卷）》是作者为中国科学院大学一年级本科生讲授线性代数课程时，根据作者本人授课的课堂录音和学生的课堂笔记整理修订完善而成的。作者吸收借鉴了柯斯特利金《代数学引论》的优点和框架，在内容的选取和组织，贯穿内容的观点等方面都有特色。《基础代数（第二卷）》分为三卷，本册为第二卷，主要内容包括：向量空间，线性算子，内积空间，仿射空间与欧几里得仿射空间，二次曲面，张量等，每章节附有适当的习题，可供读者巩固练习使用。目录
目录前言
第1章向量空间1
1.1定义与例子1
1.2向量间的线性关系5
1.3基与维数8
1.4子空间14
1.5商空间18
1.6线性函数19
1.7双线性型和二次型25
第2章线性算子44
2.1向量空间的线性映射44
2.2线性算子代数50
2.3不变子空间和特征向量58
2.4商算子和对偶算子67
2.5约当标准形71
第3章内积空间85
3.1欧几里得向量空间85
3.2埃尔米特向量空间99
3.3内积空间上的线性算子，I——自伴随算子109
3.4内积空间上的线性算子，II——保距算子119
3.5内积空间上的线性算子，III——正规算子126
3.6复化与实化131
3.7正交展开139
3.8正交投影和最小二乘法146
3.9正交多项式150
3.10几个自伴随算子156
第4章仿射空间与欧几里得仿射空间161
4.1仿射空间161
4.2欧几里得仿射空间176
4.3群与几何184
4.4凸集202
4.5伪欧几里得空间和闵可夫斯基空间207
第5章二次曲面216
5.1二次函数216
5.2仿射空间和欧几里得空间中的二次曲面224
5.3射影空间241
5.4射影空间的二次曲面258
第6章张量263
6.1张量计算初步263
6.2向量空间的张量积272
6.3张量的收缩、对称化与交错化、张量代数279
6.4外代数292
参考文献312
附录313
精彩书摘
《基础代数（第二卷）》：第1章向量空间
天地间的向量空间数不清，我们仅讨论了实数域上的行和列的向量空间Rn，它从线性方程组的系数中自然产生。对其他的域，也有线性方程组，所以可以考虑这个域上的行和列的向量空间。但这仍然有局限，而且这个局限是不必要的。注意到以前对Rn的讨论是基于两个运算：行(或列)向量之间的加法，纯量乘行(或列)向量及这两个运算的一些性质，可以知道这两个运算和那些性质才是本质的。把它们抽象出来，就得到一般的向量空间的定义，于是前面发展的若干概念和方法的适用范围大大扩展。本章和随后的五章将对一般的向量空间做一些讨论。
1.1定义与例子
一定义1.1称集合V是域K上的向量空间(或线性空间)，如果V是加法(交换)群且K中的元素与V中的元素可以相乘得到V的元素，相乘具有以下性质：
(1)(ab)v=a(bv)；
(2)a(u+v)=au+av；
(3)(a+b)v=av+bv；
(4)1v=v。
其中a，b是K中的任意元素，1是K中的乘法单位元，u，V是V中任意元素。向量空间中的元素称为向量，其中的零元常称为零向量。域K中的元素称为纯量，纯量与向量的相乘称为纯量乘。域K也常称为V的基域。
说明在定义中加号+既表示V中的加法也表示K中的加法，这样做是方便的，且不会引起歧义。讨论抽象的(或抽象地讨论)向量空间时，向量空间的交换群运算一般用+表示，基域的元素与向量相乘的运算符号一般省略，或用小圆点表示。在讨论一些具体的向量空间时，可能需要用其他的记号表示向量空间的加法和基域的元素与向量相乘的运算，以避免混乱。例如，正实数全体R+在数的乘法下是交换群，对，定义容易验证，在运算，下R+是实数域上的向量空间。
另一个例子更有意义。设V是复数域上的向量空间。我们定义复数域上一个新的向量空间1V，称为V的复共轭向量空间。作为加法群，它和V是一样的，但纯量乘不一样，定义为，其中是复数的共轭。由于共轭运算是复数域的自同构，容易看出1V是复数域上的向量空间。要同时研究V和1V，纯量乘的符号就得有差别。
……
